]> Festkoerperchemie Kap. 1.1.5.
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Vorlesung: Festkörperchemie

1. Bau von Festkörpern: Atomare und elektronische Strukturen

1.1.5. Kristallographie und Eigenschaften

Vorlagen

Zum Abschluß des esten Abschnitts zur Struktur von Idealkristallen und deren Strukturchemie soll die Bedeutung von Symmetrie für die Eigenschaften, geanuer die Eigenschaften, die auf statischen Response, (nicht auf Transportphänomen basieren (bei Eigenschaften nochmal) behandelt werden. Zum vollständigen Verständnis dieses Abschnitts ist möglicherweise ein Blick in die Kapitel zur Symmetrie aus der Vorlesung Methoden der Anorganischen Chemie nützlich bzw. erforderlich. Idealkristalle und derer Kristallstrukturen basieren auf der Anwesenheit vollständiger Translationssymmetrie. Zu ihrer vollständigen Beschreibung sind die Elementarzelle mit den Abmessungen der Gitterparameter und die Lageparameter der Atom, sowie als Symmetrieinformation die Raumgruppe ausreichend. {\bf Punktgruppe} (vgl. Moleküle!) PG = Kombintation von Basis-SO v. Objekten (Kristalle, Moleküle) mit konst. Punkt wenige SO: 1, 2, 3, 4, 6, i, m, $\bar{4}$ (wegen Translation) n-zählige \multicolumn{5}{|c|}{n} \hline Drehachse| 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | Drehung um $\frac{360}{n}$ | | | | | | läßt Objekt unverändert | | | | | | Chiralität bleibt erhalten | | | | | | Drehinversions- | $\rm \bar{1}=i$ | $\rm \bar{2}=\frac{1}{m}$ | $\rm \bar{3}=3+i$ | $\rm \bar{4}$ | $\rm \bar{6} = \frac{3}{m}$ | Drehung um $\rm \frac{360}{n}+i$ achse | | | | | | läßt Objekt unverändert | | | | | | Chiralität ändert sich \hline \end{tabular} Symmetrie mit konstantem Punkt beschreibbar/benennbar: $\diamond$ bei Molekülen: Punktgruppen vollkommen $\diamond$ bei Kristallen: 32 Kristallklasse äquivalent Problem: unterschiedliche Nomenklatur (Schönflies, H.M.) $\bullet$ {\bf Bedeutung von PG} (für Idealkristalle) makroskopische Kristall-Symmetrie (Goniometrie) Symmetrie jedes Platzes im Kristall Tabelle der 32 kristallographischen PG (Kristallklassen)} \fbox{\scriptsize VL 1.7} Nr.| T| \multicolumn{2}{|c|}{Herman-Mauguin} | Schön- | Koordinaten- | Nr. | T| \multicolumn{2}{|c|}{Herman-Mauguin} | Schön- | Koordinaten- \cline{3-4} \cline{9-10} | Y| Kurz- | Lang- | flies- | system | | Y| Kurz- | Lang- | flies- | system \cline{3-5} \cline{9-11} | P| \multicolumn{3}{|c|}{symbol} | | | P| \multicolumn{3}{|c|}{symbol} | \hline \hline 1 | C| 1 | 1 | $C_1$ | triklin | 16| C| 3 | 3 | $C_3$ | trigonal 2 | A| $\bar{1}$ | $\bar{1}$ | $C_i$ | (a$\ne$b$\ne$c; $\alpha$$\ne$$\beta$$\ne$$\gamma$)| 17| A| $\bar{3}$ | $\bar{3}$| $S_6$ | (hexagonale A.) | | | | | | 18| D| 3m1 | 3m1 | $C_{3v}$ | (a=b$\ne$c \cline{1-6} 3 | D| m | 1m1 | $C_s$ | monoklin | 19| B| 321 | 321 | $ D_3$ | $\alpha$=$\beta$=90$^o$, 4 | C| 2 | 121 | $C_2$ | (a$\ne$b$\ne$c, | 20| A| $\bar{3}m1$ | $\bar{3}\frac{2}{m}1$ | $ D_{3d}$| $\gamma$=120$^o$) 5 | A| $\frac{2}{m}$| $1\frac{2}{m}1$ | $C_{2h}$| $\alpha$=$\gamma$=90$^o$; $\beta$$\ne$90$^o$) | | | | | | \cline{7-12} | | | | | | 21| C| 6 | 6 | $C_6$ | hexagonal \cline{1-6} 6 | D| mm2 | mm2 | $C_{2v}$| orthorhombisch | 22| E| $\bar{6}$| $\bar{6}$| $C_{3h}$ | ($ a = b \ne c$ 7 | B| 222 | 222 | $D_2$ | ($ a \ne b \ne c$, | 23| A| $ \frac{6}{m}$| $\frac{6}{m}$ | $C_{6h}$| $\alpha$=$\beta$=90$^o$; 8 | A| mmm | $\frac{2}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}$ | $D_{2h}$| $\alpha$=$\beta$=$\gamma$=90$^o$) | 24 | E| $\bar{6}$m2 | $\bar{6}$m2 | $ D_{3h}$ | $\gamma$=120$^o$) | | | | | | 25 | D | 6mm | 6mm | $ C_{6v}$ | \cline{1-6} 9 | C| 4 | 4 | $C_4$ | tetragonal | 26| B | 622 | 622 | $ D_6$ | 10| E| $\bar{4}$ | $\bar{4}$ | $S_4$ | (a=b$\ne$c, | 27 | A | $ \frac{6}{m}$mm | $ \frac{6}{m} \frac{2}{m} \frac{2}{m}$ | $ D_{6h}$ | 11| A| $ \frac{4}{m}$| $ \frac{4}{m}$ | $C_{4h}$| $\alpha$=$\beta$=$\gamma$=90$^o$) | | | | | | \cline{7-12} 12| D| 4mm | 4mm | $C_{4v}$| | 28 | B| 23 | 23 | T | kubisch 13| E| $\bar{4}$2m | $\bar{4}$2m | $D_{2d}$| | 29 | A| m$\bar{3}$ | $\frac{2}{m} \bar{3}$ | $ T_h$ | (a=b=c, 14| B| 422 | 422 | $D_4$ | | 30 | E| $\bar{4}3m$ | $\bar{4}3m$ | $ T_d$ | $\alpha$=$\beta$=$\gamma$=90$^o$) 15| A| $ \frac{4}{m}$mm| $\frac{4}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}$| $D_{4h}$| | 31 | B| 432 | 432 | O | | | | | | | 32 | A| m$\bar{3}$m | $\frac{4}{m} \bar{3} \frac{2}{m}$ | $ O_h$ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \subsubsection{Punktgruppen: Symmetrie -- Eigenschaften} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $\bullet$ {\bf Bezug Punktgruppe -- Raumgrupppe (Idealstruktur)} ../methoden_ac/Xfig_bilder/flaechen_raum_gruppen.eps Gesamtstruktur (mathematisch) die Kombination von Punktgruppen an allen Orten im Kristall Beschreibung (praktisch) $\diamond$ Gitterkonstanten: Abmessungen der EZ (Metrik der EZ) $\diamond$ Raumgruppe: Symmetrie in der EZ $\diamond$ Atompositionen: Positionen aller Atome in der EZ (Unterschiedung allgemeine/spezielle Positionen) jede Atomposition hat bestimmte Eigensymmetrie (PG) eliminieren aller Translationssymmetrien, d.h. Ersatz $\diamond$ Gleitspiegelebenen $\mapsto$ Spiegelebenen $\diamond$ Schraubenachsen $\mapsto$ normale Drehachsen $\mapsto$ RG $\mapsto$ isomorphe PG isomorphe PG der RG bestimmt ... $\diamond$ äußere Form des Kristalls (wenn frei gewachsen) $\diamond$ physikalische Eigenschaften des Gesamtkristalls $\mapsto$ PG für physikalische Eigenschaften wichtiger als RG (nach außen resultierende Gesamtsymmetrie der Struktur) Die Einteilung der Punktgruppen kann nach den möglichen Eigenschaften nach folgendem Schema (Abb. XX) eingeteilt werden.
Abb. 1.1.5.1 Einteilung der Punktgruppen ‣ SVG

Von den insgesamt 32 Punktgruppen sind:
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