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Inhalt Einleitung I. Spektroskopie II. Beugung III. Bildgebung IV. Sonstige Methoden
Vorlesung: Methoden der Anorganischen Chemie

II. Beugungsmethoden

2. Grundlagen der Kristallographie


Vorlage(n)


1. Einteilung der Festkörper, Kristallklassen

Festkörper können nach ihrer Symmetrie klassifiziert werden: Alles im Folgenden beschriebene gilt nur für kristalline Festkörper mit dreidimensional-periodischer Struktur.

Bei vielen (frei gewachsenen) Kristallen ist bereits makroskopisch eine Symmetrie erkennbar, sie können nach Punktgruppen oder Kristallklassen eingruppiert werden. Die Bestimmung der Kristallgeometrie durch Vermessung der Flächenwinkel usw. nennen die Kristallographen Goniometrie. Die Kristallklassen und ihre Bestimmung entsprechen exakt der Bestimmung der Punktgruppen von Molekülen. So gehört z.B. das Molekül des Komplexes Re2(CO)10 zur gleichen Punktgruppe die Kristalle von Rutil.

Bereits seit dem 18 Jahrhundert, d.h. vor der Entdeckung der Beugung von Röntgengstrahlen, waren die folgenden Kristallographischen Gesetze bekannt:

  1. Freiwachsende Kristalle, die zum selben Idealkristall gehören, besitzen einen charakteristischen Satz von Normalenwinkeln (Gesetz der Winkelkonstanz).
  2. Jeder Kristallfläche läßt sich ein Millerindex (hkl) zuordnen.
  3. In Kristallen sind nur Symmetrieachsen der Zähligkeit 1, 2, 3, 4 und 6 möglich.
Als Basis-Symmetrieelemente sind wegen der Translationssymmetire nur die acht Punktsymmetrieoperationen vorhanden. Die zugehörigen Punktgruppen, die hier Kristallklassen genannt werden, sind die 32 möglichen Kombinationen (kristallographische Punktgruppen = Kristallklassen). Wie bei den Molekülen gehört zu jeder Punktgruppe ein Satz von Symmetrieoperationen, die bei gut ausgebildete Kristalle makroskopisch erkennbar werden, so daß häufig die Zuordnung zu einer Kristallklasse gelingt.
Die Punktgruppen/Kristallkassen haben damit in der Kristallographie aus mehreren Gründen eine wichtige Bedeutung:

2. Translation als Symmetrieoperation

Bei den bisherigen Symmetriebetrachtungen wurde stets mindestens ein Punkt (der Schwerpunkt) des Objektes (Kristall oder Molekül) fix gehalten (daher die Bezeichnung Punkt-Symmetrie). In Kristallen kommen jetzt als neue Symmetrieoperationen (unendlich viele!) Verschiebungen in ein-, zwei- oder drei Richtungen hinzu, die ja bekanntlich die periodischen Strukturen ausmachen. Durch diese Translationssymmetrie bleibt kein konstanter Punkt mehr bestehen. Diese Art von Symmetrie erleichtert ganz entscheidend die Beschreibung periodischer Strukturen wie z.B. von Bändern (1-dimensionale Translation), Flächenmustern (2-dimensionale Translation) und Kristallstrukturen (3-dimensionale Translation).
Abb. II.2.1. Translation als Symmetrieoperation ‣ SVG
Als Beispiele sind in Abbildung II.2.1. 1-, 2- und 3-dimensional periodische Muster gezeigt. Als sog. Motiv wurde ein Dreieck ohne Eigensymmetrie (auf allgemeiner Punktlage) gewählt. Das Gitter bezeichnet man die Vorschrift, wie die Motive angeordnet werden. Das Translations-Gitter wird im eindimensionalen Fall durch einen Vektor mit einer bestimmten Länge und Richtung, im zwei- und dreidimensionalen Fall durch Vektoren mit 2 bzw. 3 Komponenten beschrieben. Diese Vektoren können auf verschiedene Weisen gewählt werden (s.u.). Das Parallelepiped der Gittervektoren bildet eine Elementarzelle der Struktur.
Die Beschreibung der Gesamtanordnung, der Kristallstruktur, erfolgt demnach also nach dem Prinzip:
Struktur = Gitter + Motiv
wobei: Die kleinste Einheit, die durch reine Verschiebung (!) die Gesamtstruktur ergibt ist die sogenannte primitive Elementarzelle. Ihre Größe ist immer gleich! Sie ist aber beliebig verschiebbar (s. die verschiedenen, in Abb. II.2.2. eingezeichneten Elementarzellen). Die primitive Elementarzelle enthält genau einen Gitterpunkt. Als Symbol für diese Translationssymmetrie wird p (für zweidimensionale Translationssymmetrie) bzw. P (für dreidimensionale Translationssymmetrie) verwendet. Ist die reine Translationssymmetrie die einzige Symmetrie, dann entspricht enthält die primitive Elementarzelle ein Motiv. Bei symmetrischen Motiven wird die Symmetrie innerhalb des Motivs bzw. der Elementarzelle durch Angabe der sog. Raumgruppensymmetrie ber"ucksichtigt. Die asymmetrische Einheit des Motivs ergibt dann gemeinsam mit der Raumgruppe vollständige, symmetrieergänzte Motive in translationssymmetrischer Anordnung.

Bevor diese Symmetrien näher betrachtet werden können, müssen (wie auch bei der Einführung der Punktgruppen) zusätzlich neue, zusammengesetzte Symmetrieoperationen besprochen werden. Diese entstehen durch Kombination der bekannten Punktsymmetrie-Operationen mit der neuen Symmetrieoperation Translationen durch zusammensetzen (d.h. Hintereinanderausführen). Wie bei den Drehinversions- und Drehspiegelachsen sind i.A. die einzelnen Basissymmetrien selber nicht vorhanden. Da sich der zweidimensionale Fall besser darstellen läßt als der 3D-Fall, wird die Symmetrie zunächst für den zweidimensionalen Fall beschreiben.


Beispiel 1-dim. periodischen Strukturen (einseitige Bänder)

EINSCHUB: Beschreibung von Punkten, Richtungen und Flächen in periodischen Strukturen
Zur Verständigung ist wichtig, wie allgemein Orte (Punkte, z.B. Atompositionen), Richtungen (z.B. Primär- und Strahlung) und Flächen (entscheidend für die Beugung) bezeichnet werden. Hierzu zeigt Abb. II.2.5. den zweidimensionalen Fall.
Abb. II.2.2. Punkte, Richtungen (und Flächen) im Zweidimensionalen ‣ SVG

3. 2D-Fall: Flächengruppen

Da zunächst der zweidimensionale Fall für die Beschreibung der Prinzipien der gesamten Kristallographie reicht, werden die folgenden drei Punkte als Unterkapitel des Abschnitts zu Flächengruppen:
  1. Neue Symmetrieoperationen, die durch Kombination der Punktsymmetrieoperationen mit der Translation entstehen.
  2. 'Zusammenwirken' aller möglichen Symmetrieoperationen in Ebenen- oder Flächengruppen.
  3. Beispiel: p4gm mit
3.1. Kombinierte Symmetrieoperationen
Die Punktsymmetrieelemente der zweidimensionalen Gruppen sind die in Abb II.2.4. gezeigten Drehachsen der Zähligkeiten 1, 2, 3, 4, und 6 sowie die zur Ebene senkrecht stehende Spiegelebene.
Abb. II.2.4. Drehachsen im 2-dimensionalen (mit Translation vereinbar) ‣ SVG
Die Translation kombiniert mit der Spiegelebene führt zu einer neuen, sogenannten individuelle Translation, der Gleitspiegelebene (s. Abb. II.2.5.). Der Translationsvektor verläuft parallel zur Spiegelebene und entspricht der Hälfte der Translationsperiode des Gesamtgitters. Symbol ist eine gestrichelte Linie ----.
Abb. II.2.5. Gleitspiegelebene ‣ SVG
Als sogenannte Gesamttranslationen wird neben dem primitiven Gitter die c-Zentrierung (s. Abb. II. 2.6.) eingeführt. Hier kommt zu jedem Punkt x, y ein weiterer symmetrieäquivalenter bei x+1/2, y+1/2 wieder. Da die Elementarzelle damit zwei Gitterpunkte enthält, spricht man von einem doppel-primitiven Gitter.
Abb. II.2.6. Zentrierungen ‣ SVG
Bereits bekannt ist, wie die Symmetrieelemente zu Punktgruppen im zweidimensionalen Fall kombinieren (s. Tab. I.6.5.). Diese Tabelle zeigt die 10 möglichen Punktgruppen und die zugehörigen symmetrieangepassten Koordinatensystemen.
3.2. Flächengruppen
Die ingesamt 17 möglichen Kombinationen der Symmetrieoperationen der Fläche nennt man Flächengruppen. Sie entstehen also aus der Kombination aller Symmetrielemente.
Abb. II.2.6. Flächen- und Raumgruppen ‣ SVG
Beispiele für alle 17 möglichen Gruppen (Symmetrien der Fläche) sind in Abb. II.2.7. gezeigt. Das Motiv ist das gleich wie oben, ein schiefes Dreieck ohne Eigensymmetrie.
Abb. II.2.7. Alle 17 Flächengruppen ‣ SVG
Die für die Beschreibung der einzelnen Muster jeweils sinnvollen Koordinatensysteme sind die gleiche wie bei den zugehörigen Punktgruppen. Die Zuordnung der Flächengruppen zu den Kristallsystemen ist in Tabelle II.2.1. nochmals mit angegeben.

Tab. II.2.1. Zweidimensionale Flächengruppen und angepaßte Koordinatensysteme
Hermann-Mauguin-LangsymbolFlächengruppenKoordinatensystem
1 p1 schiefwinklig: a ≠ b, γ beliebig
2 p2
1m1 pm, pg, cm rechtwinklig: a ≠ b, γ=90o
2mm pmm2, pmg2, pgg2, cmm2
411 p4 quadratisch: a=b, γ=90o
4mm p4mm, p4gm
311 p3 hexagonal a=b, γ=120o
3m1 p3m1, p31m
611 p6
6mm p6mm

Die Zuordnung der Flächengruppe (des Gesamtmusters) zur Punktgruppe (makroskopische Form) erhält man, wenn alle Gleitspiegelebenen durch echte Spiegelebenen ersetzen werden und damit quasi die Translation entfernen wird. Isomorphe Flächengruppen gehören zur selben Punktgruppe (makroskopisch erkennbare Punktsymmetrie). Die Benennung der Flächengruppen erfolgt wieder nach Hermann-Mauguin, analog der wie bei den Punktgruppen. Bei den Benennungsrichtungen (auch Blickrichtungen, Bezeichnungsrichtungen) gilt, daß die erste Richtung immer aus der Ebene heraus zeigt. Weitere Richtungsdefinition s. die Hermann-Mauguion-Benennung der Punktgruppen. Die Flächengruppen sind im ersten Teil der International Tables for X-ray Crystallography eingetragen.

3.3. Beispiel: p4g
Für die Flächengruppe p4gm (Kurzsymbol p4g) sieht der Eintrag in den Tables ungefähr wie in Tab. II.2.2. gezeigt aus.

Tab. II.2.2. Eintrag in den International Tables zur Flächengruppen p4gm
Square 4mm p4gm No. 12 p4g
Origin at 4
Number of positions, Co-ordinates of equivalent positions Conditions limiting
Wyckoff notation, possible reflections
and point symmetry
General:
8 d 1 x,y; y,-x; 1/2-x,1/2+y; 1/2-y,1/2-x hk: No conditions
-x,-y; -y,x; 1/2+y,1/2-y; 1/2+y,1/2-x h0: h=2n (0k: k=2n)
hh: No conditions
Special: as above, plus
4 c m x,1/2+x; -x,1/2-x; 1/2+x,-x; 1/2-x,x; no extra conditions
2 b mm 1/2,0; 0,1/2 hk: h+k=2n
2 a 4 0,0; 1/2,1/2 hk: h+k=2n

Im Kopf des Eintrags in den Internationalen Tabellen findet sich links zunächst das Kristallsystem, in diesem Fall Square. Es folgt die isomorphe Punktgruppe (hier 4mm), die der Kristallklasse der makroskopischen Kristalle entspricht. Rechts außen steht das Hermann-Mauguin-Langsymbol (hier p4gm). Die Richtungen sind dabei wie bei der Bezeichnung der Punktgruppen nach der Hermann-Mauguin-Bezeichnung. In diesem Falls also:

Es folgt die laufende Nummer der Punktgruppe und das Hermann-Mauguin-Kurzsymbol. Im folgenden Bild ist links ein Punkt allgemeiner Lage gezeigt, und zwar inklusive aller Punkte, die durch die Symmetrie der Gruppe erzeugt werden. Dieser Punkt liegt auf beliebigen Koordinaten x, y, z (allgemeine Lage). Hier werden durch die Symmetrie insgesamt 8 äquivalente Punkte erzeugt (maximale Zähligkeit der Flächengruppe). Die Chiralität am jeweiligen Ort wird durch ein Komma (,) angedeutet. Rechts ist immer ein Bild mit allen Symmetrieelementen dargestellt. Die Achsen sind wie bei den Punktgruppen symmetrieangepaßt definiert, durchgezogene Linien stehen für Spiegelebenen m, gestrichelte Linien für Gleitspiegelebenen g. Origin bezeichnet die Lage und Symmetrie des Ursprung der Elementarzelle. Die Punktlagen teilen sich in die allgemein und weitere spezielle Lagen (Punkte, die auf Symmetrieelementen liegen). Jede Lage wird durch die sogenannte Wykoff-Benennung bezeichnet, die aus der Zähligkeit und einem Buchstaben (Nummerierung von unten). Punkt der Lage. Danach folgen die Position und die dazu symmetrieäquivalenten Punkte. Am rechten Rand finden sich Angaben für den reziproken Raum (Beugungsbilder, systematische Auflöschungsbedingungen). Zur Punktgruppe wird als 'Struktur'-Beispiel ein periodisches Muster des holländischen Zeichners (M. C. Escher), Engel und Teufel verwendet.
Abb. II.2.8. Engel und Teufel von M.C. Escher (mit Hilfslinien)
Eingezeichnet sind bzw. sofort erkennbar: Und hier kann man selber Escher spielen.

Zusammenfassung: Die vollständigen Charakterisierung einer zweidimensional periodischen Struktur besteht also aus:

Dieses Prinzip läßt sich nun ganz identisch auf den dreidimensionalen Fall erweitern.

4. Raumgruppen

Wie bei den Flächengruppe sind auch bei den Raumgruppen (dreidimensionale Gruppen) wieder die gleichen Unterpunkte wichtig:
  1. Neue Symmetrieoperationen, die durch Kombination der Punktsymmetrieoperationen mit der Translation entstehen.
  2. 'Zusammenwirken' aller möglichen Symmetrieoperationen in Raumgruppen.
  3. Beispiel: Cmca mit
4.1. Kombinierte Symmetrieoperationen
Wie schon bei den Flächengruppen entstehen auch hier durch Kombination der 'alten' Symmetrioperationen neue, in diesem Fall zwei Sorten von neuen Symmetrieoperationen: Durch die Kombination von Drehung n mit Translation, wobei der Translationsvektor parallel zur Drehachse verläuft, entstehen Schraubenachsen nm, und zwar 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64 und 65 (s. Abb. II.2.9.).
Abb. II.2.9. Schraubenachsen als neue kombinierte Symmetrieoperationen ‣ SVG
Eine Translation, gefolgt von einer Spiegelung m, wobei die Verschiebung wie im zweidimensinalen Fall nur um 1/2 der Translationsperiode erfolgt und der Translationsvektor parallel zur Spiegelebene verläuft führt zu den Gleitspiegelebenen, die je nach Richtung der Gleitung als a,b,c (Gleitkomponenten entlang der Gittervektoren), n (Gleitkomponente entlang von Flächendiagonalen bzw. d (Gleitkomponente entlang der Raumdiagonalen) verläuft (s. Abb. II.2.10.).
Abb. II.2.10. Gleitspiegelebenen als neue kombinierte Symmetrieoperationen ‣ SVG
Ebenfalls wie im zweidimensionalen Fall werden Gesamttranslationen, d.h. zusätzliche Translationen des gesamten Gitters eingeführt (zentrierten Gitter, nur zur Vereinfachung). Die Zentrierungen sind in Tabelle II.2.3. mit den symmetrisch äquivalenten Punkten zusammengestellt.

Tab. II.2.3. Zentrierungstypen bei Raumgruppen
Symbol Bezeichnungzusätzliche Symmetrieoperationen
P primitiv -
I 2 fach primitiv x+1/2, y+1/2, z+1/2
C 2 fach primitiv x+1/2, y+1/2, z
F 4 fach primitiv x+1/2, y+1/2, z; x+1/2,y,z+1/2; x, y+1/2, z+1/2
R 3 fach primitiv spez. Zentrierung in trigonalen Gittern

Eine Darstellung der Gitterpunkte findet sich in Abb. II.2.11.

Abb. II.2.11. Zentrierungen in dreidimensionalen Strukturen ‣ SVG
4.2. Raumgruppen
Das Zusammenwirken/die Kombination aller dieser Symmetrieelemete führt auf die 230 Raumgruppen (s. Tab. II.2.5.). Die Raumgruppen sind unendliche Gruppen, trotzdem gelten die Gruppenaxiome. Sie entsprechen einem charakteristischer Satz von Symmetrieelementen an bestimmten Orten in einer dreidimensionalen Struktur oder die Menge von Punktgruppen an bestimmten Orten im translationssymmetrischen Muster. Die Symbole der Raumgruppen werden nach der bei den Punktgruppen eingeführten Hermann-Mauguin-Nomenklatur benannt: Ein großerer Buchstabe beschreibt die Gesamttranslation (Bravaisgittertyp). Bis zu drei weitere Symbole nennen die Symmetrielemeente entlang ausgezeichneter Richtungen, der sog. Blickrichtungen. Diese sind exakt identisch wie bei den Punktgruppen. Je nach der Minimalsymmetrie wird ein geeignetes (symmetrieangepasstes) Koordinatensystem (7 Kristallsysteme) verwendet. In der Tabelle II.2.4. findet sich eine Übersicht über alle Raumgruppen.

Tab. II.2.4. Tabelle aller 230 Raumgruppen
Kristall- Punkt- Gitter- Bravaisgittertypen Blickrichtung Raumgruppen
system gruppe konstanten PCIF 1.2.3.
triklin 1 a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90o P - - - - - - P1
-1 P -1
monoklin 2 a ≠ b ≠ c; α = γ = 90o P - C - - [010] - P2, P21, C2
m Pm, Pc, Cm, Cc
2/m P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c
orthorhombisch 222 a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90o P C I F [100] [010] [001] P222, P2221, P21212, P212121
mm2 C2221, C222, F222, I222, I212121, Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma21, Pca21, Pnc21, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Abma, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2
mmm Pmmm, Pnnm, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma, Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam ,Ibca, Imma
tetragonal 4 a = b ≠ c; α = β = γ = 90o P - I - [100] [100] [010] [110] [1-10] P4, P41, P42, P43, I4, I41
-4 P -4, I-4
4/m P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a
422 P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122
4mm P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd
-4m P-42m, P-42c, P-421m, P-421c, P-4m2, P-4c2, P-4b2, P-4n2, I-4m2, I-4c2, I-42m, I-42d
4/mmm P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd
trigonal 3 a = b ≠ c; α = β = 90o, γ = 120o (R) - - - [001] [100] [1-10] P3, P31, P32, R3
-3 P-3, R-3
32 P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32
3m P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c
-3m P -31m, P-31c, P-3m1, P-3c1, R-3m, R-3c
hexagonal 6 a = b ≠ c; α = β = 90o, γ = 120o P - - - [001] [100] [010] [-1-10] [1-10] [120] [-2-10] P6, P61, P65, P63, P62, P64
-6 P-6
6/m P6/m, P63/m
622 P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322
6mm P6mm, P6cc, P63cm, P63mc
-6m P-6m2, P-6c2, P-62m, P-62c
6/mmm P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc
kubisch 23 a = b = c; α = β = γ = 90o P - I F [100] [010] [001] [111] [1-1-1] [-11-1] [-1-11] [110] [110] [01-1] [-101] [1-10] [011] [101] P23, F23, I23, P2_13, I2_13
m3 Pm-3, Pn-3, Fm-3, Fd-3, Im-3, Pa-3, Ia-3
432 P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132
-43m P-43m, F-43m, I-43m, P-43n, F-43c, I-43d
m-3m Pm-3m, Pn-3n, Pm-3n, Pn-3m, Fm-3m, Fm-3c, Fd-3m, Fd-3c, Im-3m, Ia-3d

Die Tabelle II.2.4 enthält eine Übersicht über alle 230 Raumgruppen. Die Hermann-Maugiun-Kurzsymbole sind als Liste in der letzte Spalte dieser Tabelle eingetragen. Die erste Spalte enthält die sieben symmetrieangepaßten Koordinatensysteme, die zur Beschreibung verwendet werden. Diese richten sich wie bei den Punktgruppen nach einigen Minimalsymmetrien, die in Tabelle I.6.6. zusammengestellt sind. Aus der Tabelle sind damit die isomorphen Punktgruppen, die zu einer Kristallklasse gehören sowie die Restriktionen für die Gitterkonstanten und die erlaubten Zentrierungen für jedes Kristallsystem. An den 'Fehlstellen' ist die Einführung einer entsprechenden Zentrierung nicht sinnvoll. Als Beispiel kann das tetragonal C-zentriere Gitter genannt werden, das sich in ein nur halb so grosses primtives Gitter überführen läßt. Die Blickrichtungen für die Hermann-Mauguin-Benennung entsprechen denen der Punktgruppen. Alle Raumgruppen sind in den International Tables tabelliert.

4.3. Beispiel: Cmca
Als Beispiel ist in Tabelle II.2.5. ein solcher Eintrag für die orthorhombische Raumgruppe Cmca gezeigt. Ein zugehörige 'Muster' (s.u.) ist die Struktur von elementarem Iod.

Tab. II.2.5. Eintrag in den Internationale Tables zur Raumgruppe Cmca
Cmca
Orthorhombic mmm C 2/m 2/c 21/a No. 64 D182h
Origin at 2/m
Number of positions, Co-ordinates of equivalent positions Conditions limiting
Wyckoff notation, possible reflections
and point symmetry
(0,0,0; 1/2,1/2,0)+
16 g 1 x,y,z; x,-y,-z; x,1/2-y,1/2+z; x,1/2+y,1/2-z; hkl: h+k=2n
-x,-y,-z; -x,y,z; -x,1/2+y,1/2-z; -x,1/2-y,1/2+z. 0kl: (k=2n)
h0l: l=2n; (h=2n)
hk0: h=2n; (k=2n)
h00: (h=2n)
0kl: (k=2n)
00l: (l=2n)
Special: as above, plus
8 f m 0,y,z; 0,-y,-z; 1/2,y,1/2-z; 1/2,-y,1/2+z. no extra conditions
8 e 2 1/4,y,1/4; 3/4,-y,3/4; 3/4,y,1/4; 1/4,-y,3/4. hkl: h=2n; (k=2n)
8 d 2 x,0,0; -x,0,0, x,1/2,1/2; -x,1/2,1/2. hkl: k+l=2n; (l+h=2n)
8 c -1 1/4,1/4,0; 1/4,3/4,0; 1/4,1/4,1/2; 1/4,3/4,1/2. hkl: h,l=2n (k=2n)
4 b 2/m 1/2,0,0; 1/2,1/2,1/2.
4 a 2/m 0,0,0; 0,1/2,1/2.
Symmetry of special projections
(001) pmm; a'=a/2, b'=b/2; (100) pgm; b'=b/2, c'=c; (010) pmm; c'=c/2, a'=a/2

Als Muster-Beispiel ist die Struktur von elementarem Iod I2 gezeigt, in der isolierte I2-Moleküle vorliegen (Molekülkristall). Für die komplette Beschreibung/Charakterisierung dieser Struktur reichen:

Damit ist die vollständige Darstellung und Beschreibung der Struktur möglich In Abb. II.2.12. sind diejenigen Symmetrieelemente ausführlich erklärt, die im Raumgruppen-Symbol enthalten sind.
Abb. II.2.12. Struktur von Iod (mit Veranschaulichung der Symmetrieelemente des Raumgruppensymbols ‣ SVG
Unten: Anklicken der einzelnen Symbole des Hermann-Mauguin-Symbols der Raumgruppe zeigt das jeweilige Symmetrieelement sowie diejenigen Atome (rot), die aus einem willkürlich ausgewählten I-Atom (in gelb) durch dieses Symmetrieelement erzeugt werden (analog zu Abb. II.2.12. oben).
1. Richtung 2. Richtung 3. Richtung
[100] [010] [001]
2 2 21
C -- -- --
m c a
Inhalt Einleitung I. Spektroskopie II. Beugung III. Bildgebung IV. Sonstige Methoden
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