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Inhalt Einleitung I. Spektroskopie II. Beugung III. Bildgebung IV. Sonstige Methoden
Vorlesung: Methoden der Anorganischen Chemie

II. Beugungsmethoden

3. Prinzip der Beugung (Theorie)


Vorlage(n)


Für den Theorieteil der Beugung ergeben sich aus der Analogie mit der Optik aus der Einleitung die zwei Fragen:

  1. In welche Richtung gibt es positive Interferenz? Ort der Reflexe?
  2. Wie sind die jeweiligen Intensitäten dazu?

1. Richtung der positiven Interferenz, Ort des Reflexes

Bei der kohärenten, elastische Streuung (in Phase, gleiche Wellenlänge) an den Elektronen der Atome (für Röntgen-Strahlung) bzw. an den Kernen (für Neutronen-Strahlung) geht von jedem Atom des Gitters eine Elementarwelle aus. Durch die Superposition dieser Wellen erfolgt in (aus der Optik) bekannter Weise bei bestimmten Winkeln positive bzw. negative Interferenz. Beim einfachen Spezialfall des rechtwinkligen Einfalls gilt die Laue-Gleichung: nλ=d sinα wie aus Abb. II.3.1. leicht ersichtlich ist.
Abb. II.3.1. Ableitung der Laue-Gleichung ‣ SVG
Für den allgemeinen Fall, schiefer Einfall der Strahlung auf die Streuzentren, gilt entsprechend die Bragg'sche Gleichung: nλ=2dhkl sinΘhkl wobei
Abb. II.3.2. Ableitung der Braggschen Gleichung ‣ SVG
Die Bezeichnung der positiven Interferenz als Reflex ergibt sich aus der Tatsache, daß der Aufpunkt der positiven Interferenz so berechnenbar ist, als ob der Strahl an einer Netzebenenschar hkl reflektiert würde. Jeder Reflex wird durch den entsprechenden Miller-Indizes der Netzebenenschar hkl bezeichnet. Der Ort der Reflexe ist also nur von der Gittermetrik abhängig. Für die Berechnung der Netzebenenabstände gilt z.B. für den orthorhombischen Fall gilt nach Pythagoras: 1dhkl = (ha) 2+(kb )2+ (lc) 2 Bei schiefwinkligen Koordinatensystemen sind die Gleichungen entsprechend komplizierter.

2. Intensitäten der Interferenz/der Reflexe

Für die Pulvermethode gilt für die Intensität der Reflexe: Ihkl= | Fhkl | 2Hhkl LP A Damit ist die Intensität als abhängig von den folgenden Größen: Es fällt auf, daß bis zu diesem Punkt noch keinerlei strukturabhängigen Größen aufgetaucht sind. Diese (d.h. die Strukturinformation!) steckt im Quadrat des Strukturfaktors F2:
Abb. II.3.3. Atomformfaktoren (Röntgen) und Streulängen (Neutronen) ‣ SVG
Das Quadrat des Strukturfaktors F2 und damit die Intensität eines Reflexes ist also von zwei Faktoren abhängig:
  1. Den Atomformfaktoren (Röntgen) bzw. Streulängen (Neutronen) (s. Abb. II.3.3.). Pauschal kann festgehalten werden, daß damit im Röntgen-Fall mehr Elektronen auf einer Netzebenenschar eine größere Intensität des jeweiligen Reflexes (aber s.u. zu den systematischen Auslöschungen) bewirken. Die Atomformfaktoren nehmen mit dem Beugungswinkel ab. Aus diesen Kurven wird sofort klar, daß zwei Arten von Problemen auftreten: Für die Neutronenbeugung sind dagegen die Streulängen wichtig. Es handelt sich dabei um eine Kerneigenschaft, die keinen regelmäßigen Gang im Periodensystem aufweist und auch vom Isotop abhängt. Die Streulängen können auch negativ oder sogar komplex werden! Sie nehmen aber mit dem Beugungswinkel nicht ab!
  2. In der Phase steckt die relative Anordnung der Streuzentren zueinander, d.h. die Strukturinformation. Da es auf die relative Anordnung der Streuzentren (Summation!) ankommt, kann es auch bis zu totaler Auslöschung bestimmter Reflexe kommen (sog. Auslöschungsbedingungen) Diese Auslöschungsbedingungen spiegeln direkt die Symmetrie wieder, alle Symmetrieelemente mit Translationsanteilen bewirken solche systematischen Auslöschungsbedingungen.
Diese Auslöschungsbedingungen können also bei der Strukturbestimmung zur Bestimmung der möglichen Raumgruppen genutzt werden (Beugungssymbole).

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