Spezial: Oktaeder

Statik: Symmetrien des idealen Oktaeders

Tetraeder- und Oktaeder-Punktgruppen

• vier 3-zählige Achsen, die untereinander Winkel von 109.47 ^o einschließen, d.h. die beispielsweise die Raumdiagonalen eines Würfels (x+y+z, x-y+z, -x+y+z, x+y-z) bilden.
• in Richtung x=y=z liegen Achsen 4, -4 oder 2, senkrecht dazu können Spiegelebenen vorhanden sein.

• H.M.:
  • 1. Richtung: x,y,z (also die Würfelkanten) (rot)
  • 2. Richtung: die vier Raumdiagonalen (also immer 3 an 2. Position des Symbols!) (blau)
  • 3. Richtung: x+y, ... usw. (alle Flächendiagonalen des Würfels) (grün)
• Schönflies
  • für jede Punktgruppe ist ein eigenes Symbol eingeführt.

• T Objekte mit der Punktgruppe T = 23 haben die minimale Tetraedersymmetrie: vier dreizählige Achsen, zusätzlich 2-zählige Achsen in x, y und z. Es handelt sich damit um chirale Objekte, die Gruppenordnung ist 12.
• T_h Zusätzlich zu den für T genannten Symmetrieelementen kommen Spiegelebenen senkrecht zu den 2-zähligen Achsen hinzu. Durch diese Kombination von Symmetrieelementen sind die dreizähligen Achsen zugleich auch Drehinversionsachsen (-3). Damit ergibt sich für die Benennung nach Hermann-Mauguin m -3 als Kurz- und 2/m -3 als Langsymbol. Die Gruppenordnung ist 24. Die Punktgruppe ist auch als Oktaeder anzusehen, dem die vierzähligen Achsen fehlen.
• T_d bedeutet volle Tetraedersymmetrie. Gruppenordnung ist 24. Zusätzlich zu T liegen diagonale Spiegelebenen vor, d.h. das Hermann-Mauguin-Symbol ist -4 3 m.
• O Die Oktaedergruppen unterscheiden sich von den Tetraedergruppen durch die 2-zähligen Achsen auf den Diagonalen. O ist eine Punktgruppe ohne alle Spiegelebenen, d.h. 4 dreizählige, 6 vierzählige und 12 zweizählige Achsen. Die Gruppenordnung ist 24. Die Objekte sind chiral, die Kristalle aber ohne piezoelektrische Eigenschaften.
• O_h beschreibt Oktaeder bzw. Würfelsymmetrie (Oktaeder und Würfel gehören damit zur selben Punktgruppe. Sie sind zueinander dual, wenn Flächen durch Ecken ersetzt werden sind die beiden Polyeder ineinander überführbar. Die Gruppenordnung ist 48 (d.h. ein Punkt allgemeiner Lage kommt 48 mal vor, daher fehlen diese Punkte auf den folgenden Zeichnungen).

Schönflies	H.M.	stereographische Projektion	Molekül	Kristall
T	23
				NaClO3
Th	2/m -3 = m -3
				FeS2 (Pyrit)
Td	-4 3 m
				ZnS (Sphalerit)
O	432
				Cu2O
Oh	4/m -3 2/m = m -3 m = m 3 m
				Cu

Im folgenden wegen der großen Zahl an Symmetrieelementen und der Bedeutung von Tetraedern und Oktaedern in der Chemie einige VRMLs:

• T_d-Symmetrie
  • Symmetrielemente alleine, entlang der
    • Achsen: x, y, z (1. Richtung): 3 Drehinversionsachsen -4
    • Raumdiagonalen: x+y+z usw. (2. Richtung): 4 3-zählige Achsen
    • Flächendiagonalen: x+y(3. Richtung): 6 Spiegelebenen
  • Tetraeder alleine
  • Tetraeder mit Symmetrieelementen entlang der
    • Achsen: x, y, z (1. Richtung): 3 Drehinversionsachsen -4
    • Raumdiagonalen: x+y+z usw. (2. Richtung): 4 3-zählige Achsen
    • Flächendiagonalen: x+y(3. Richtung): 6 Spiegelebenen
• O_h-Symmetrie
  • Symmetrielemente alleine, entlang der
    • Achsen: x, y, z (1. Richtung): 3 * 4/m
    • Raumdiagonalen: x+y+z usw. (2. Richtung): 4 Drehinversionsachsen -3
    • Flächendiagonalen: x+y(3. Richtung): 6* 2/m
  • 1. Beispiel: Oktaeder (Stick-and-Ball) alleine und mit den Symmetrieelementen entlang der
    • Achsen: x, y, z (1. Richtung): 3 * 4/m
    • Raumdiagonalen: x+y+z usw. (2. Richtung): 4 Drehinversionsachsen -3
    • Flächendiagonalen: x+y(3. Richtung): 6 * 2/m
  • 2. Beispiel: Oktaeder als Polyeder alleine und mit den Symmetrieelementen entlang der
    • Achsen: x, y, z (1. Richtung): 3 * 4/m
    • Raumdiagonalen: x+y+z usw. (2. Richtung): 4 Drehinversionsachsen -3
    • Flächendiagonalen: x+y(3. Richtung): 6 * 2/m
  • 3. Beispiel: Würfel als Polyeder alleine und mit Symmetrieelementen entlang der
    • Achsen: x, y, z (1. Richtung): 3 * 4/m
    • Raumdiagonalen: x+y+z usw. (2. Richtung): 4 Drehinversionsachsen -3
    • Flächendiagonalen: x+y(3. Richtung): 6 * 2/m

Gruppe-Untergruppe-Beziehung bei substituierten oktaedrischen Komplexen

Interne Schwingungen, Normalschwingungen

• A_1g
• E_g
• F_2g