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Inhalt Einleitung I. Spektroskopie II. Beugung III. Bildgebung IV. Sonstige Methoden
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Vorlesung Methoden der Anorganischen Chemie

II. Beugungsmethoden

2. Grundlagen der Kristallographie

Vorlagen zu II.2.

Einteilung der Festk"orper, Kristallklassen

Festk"orper k"onnen nach ihrer Symmetrie klassifiziert werden:
Alles im Folgenden beschriebene gilt nur f"ur kristalline Festk"orper mit dreidimensional-periodischer Struktur!!!
Bei vielen (frei gewachsenen) Kristallen ist bereits makroskopisch Symmetrie erkennbar, sie k"onnen nach Punktgruppen oder Kristallklassen eingruppiert werden. Die Bestimmung der Kristallgeometrie durch Vermessung der Fl"achenwinkel usw. nennen die Kristallographien Goniometrie Die Kristallklassen und ihre Bestimmung entsprechen exakt der Bestimmung der Punktgruppen von Molek"ulen. So geh"ort z.B. das Molek"ul des Komplexes Re2(CO)10 zur gleichen Punktgruppe die Kristalle von Rutil.
Bereits seit dem 18 Jahrhundert, d.h. vor der Entdeckung der Beugung von R"ontgengstrahlen, waren die folgenden Kristallographischen Gesetze bekannt:
  1. Freiwachsende Kristalle, die zum selben Idealkristall geh"oren, besitzen einen charakteristischen Satz von Normalenwinkeln (Gesetz der Winkelkonstanz).
  2. Jeder Kristallfl"ache l"a"st sich ein Millerindex (hkl) zuordnen.
  3. In Kristallen sind nur Symmetrieachsen der Z"ahligkeit 1, 2, 3, 4 und 6 m"oglich.

Basis-Symmetrieelemente wegen Translationssymmetire = nur 8 Punktsymmetrieoperationen: Drehachsen: 1, 2, 3, 4, 6 Drehinversionsachsen: $\bar{1}=i$, $\bar{2}=\frac{1}{m}$, $\bar{3}=3+i$, $\bar{4}$, $\bar{6}=\frac{3}{m}$ {\bf Punktgruppen = Kristallklassen} 32 Kombinationen (kristallogr. P.G. = Kristallklassen) jede P.G. = Satz von Symmetrieoperationen gut ausgebildete Kristalle: makroskopisch ihrer P.G = Kristallklasse zuzuordnen Die Punktgruppen/Kristallkassen haben damit in der Kristallographie aus mehreren Gr"unden eine wichtige Bedeutung:

Translation als Symmetrieoperation

\underline{bisher:} mindestens 1 Punkt fix (PG) \underline{jetzt:} neue S.O. = Verschiebung in 1, 2 oder 3 Richtungen periodische Strukturen \underline{Translationssymmetrie} kein konstanter Punkt mehr trotzdem eine Art von Symmetrie erleichtert Beschreibung (..usw....) periodischer Strukturen 1D: B"ander; 2D: Fl"achenmuster; 3D: Kristallstrukturen \psfig{figure=./Xfig_bilder/translation.eps,width=14cm,angle=0.} \underline{Beispiele:} (Vorlage II 2.1) Motiv: Dreieck, ohne Eigensymmetrie = auf allgemeiner Lage Gitter: Vorschrift, wie Motive angeordnet werden \underline{1D:} 1 Vektor: L"ange und Richtung der Translation \underline{2D und 3D:} 2/3 Vektoren zur Beschreibung der Translation Vektoren auf verschiedenen Weisen w"ahlbar Parallelepiped aus Vektoren: Elementarzelle hiermit: {\bf Beschreibung der Gesamtanordnung = Kristallstruktur} \fbox{\bf Struktur = Gitter + Motiv} mit: \underline{Gitter} Vorschrift, wie Motive verschoben werden soll Translations-Invarianz (Umgebung jedes Gitterpunktes gleich) ACHTUNG: Gitter $\not=$ Atom.... Beschreibung: Gitterkonstanten = L"angen der Vektoren (a,b,c) Winkel dazwischen ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) \underline{Motiv:} sagt, was verschoben werden soll Beschreibung: fraktionale Koordinaten x,y,z des Motivs bezogen auf EZ, d.h. das Gitter also: x,y,z zwischen 0 und 1 kleinste Einheit, die durch reine Verschiebung (!!) Gesamtstruktur ergibt primitive {\bf EZ} Gr"o"se immer gleich verschiebbar (div. oben einzeichnen) enth"alt genau \underline{einen} Gitterpunkt \underline{Symbol:} p (2D) oder P (3D) bei reiner Translationssymmetrie = Motiv bei symmetrischen Motiven: asymmetrische Einheit + RG ber"ucksichtigt Symmetrie innerhalb des Motivs $\Downarrow$ Kombination von PG (lokale Symmetrie an jedem Ort) $\Downarrow$ mit neuen SO/SE Translationen vorher: zusammengesetzte SO ??? (analog Drehinversionsachsen) ******** EINSCHUB: (zur Verst"andigung wichtig) ************ {\bf Angabe von Punkten, Richtungen und Fl"achen} in Strukturen/EZ {\bf 2D} \underline{Punkte:} (z.B. Atompositionen) in Bruchteilen der Kantenl"angen (x,y,z) (parallel zu den Achsen) \psfig{figure=./Xfig_bilder/punkte.ps,height=2.3cm,angle=-90.} {z.B. 0.4 0.3 $\equiv$ 1.4 0.3 $\equiv$ 0.4 1.3} {Atomkoordinaten, Lageparameter, Punktlagen: $0 \le x,y,z \le 1$} \underline{Richtungen:} $[u,v,w]$ als Vektoren vom Ursprung zum Gitterpunkt u,v,w \psfig{figure=./Xfig_bilder/richtungen.ps,height=3.0cm,angle=-90.} Richtung $[uv]$ $\perp$ Fl"ache (uv) \underline{Fl"achen:} \underline{2-dim.} = Geraden \psfig{figure=./Xfig_bilder/flaechen.ps,height=5.0cm,angle=-90.} {Miller-Indizes} {$ h = \frac{1}{Achsenabschnitt a-Achse}$} (Verh"altnis der {$ k = \frac{1}{Achsenabschnitt b-Achse}$} der Achsenabschnitte) {$ l = \frac{1}{Achsenabschnitt c-Achse}$} {\bf 3D} \underline{Fl"achen} parallel zur Achse $\longmapsto$ Millerindex 0 einige wichtige Fl"achen: \psfig{figure=./Xfig_bilder/flaechen_3d.ps,height=2cm,angle=-90.} ********* ENDE EINSCHUB ************************************

Fl"achengruppen

Da zun"achst der zweidimensionale Fall f"ur die Beschreibung der Prinzipien der gesamten Kristallographie reicht, werden die 3 Punkte als Unterkapitel von Fl"achengruppen:
  1. neue SO durch Kombination der Punkt-SO mit Translation
  2. 'Zusammenwirken' Ebenengruppen (FG)
  3. Beispiel: p4gm Eintrag in IT Struktur = Muster der Fl"ache
  1. Kombinierte Symmetrieoperationen (Vorl. 2.1. Mitte, SVG) \noindent \setlength{\tabcolsep}{7pt} \begin{tabular*}{154mm}{|c@{\extracolsep\fill}|c|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\bf Punktsymmetrieelemente: n-z"ahlige Drehachsen und Spiegelebene} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/drehachsen_2dim.ps,width=13cm,angle=-90}} \hline \hline {\bf Individuelle Translation: Gleitspiegelebene} & {\bf Gesamttransl.: zentrierte Gitter} \hline $\vec{t}$ + m, mit $\vec{t} \parallel$ m \psfig{figure=./Xfig_bilder/gleitspiegelebenen_2dim.ps,width=3cm,angle=-90} & \psfig{figure=./Xfig_bilder/zentrierungen_2dim.ps,width=6cm,angle=-90} \hline \end{tabular*} } bekannt: SE und PG im 2-dim. 10 PG (Tab. Vorl. 2.2 oben) jetzt: zus"atzlich Translation als SO einziges kombiniertes SE \underline{Gleitspiegelebene g} individuelle Kombination Translation und Spiegelung Translation $\vec{t} \parallel$ m; t=$\frac{1}{2}$a; Symbol: - - - - - % \psfig{figure=./Scan_bilder/katze.ps,width=5cm,angle=0} zus"atzlich Gesamttranslation \underline{zentrierte Gitter} Gesamt- - im 2.dim. Fall nur c (statt p) translation - d.h. jeder Punkt x, y kommt bei x+$\frac{1}{2}$, y+$\frac{1}{2}$ wieder - Bezeichnung: doppel-primitiv \hline Symbol & & zus"atzliche Symmetrieoperationen \hline \hline p & primitiv & - c & 2 fach primitiv & $\rm x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z$ \hline
  2. Kombinationen: Fl"achengruppen (Vorl.: 2.2 oben) \psfig{figure=./Xfig_bilder/flaechen_raum_gruppen.eps,width=6cm,angle=0} 17 m"ogliche Kombinationen: Fl"achengruppen (Gruppentheorie oder anschaulich, s. Vorl. 2.1, SVG) \psfig{figure=./Xfig_bilder/flaechengruppen_alle.eps,width=9.3cm,angle=0} \underline{Koordinatensysteme:} symmetrieangepa"st, wie bei PG = Zuordnung der FG zu Kristallsystemen: \hline Punkt- & Fl"achen- & Koordinaten- gruppe & gruppen & system \hline \hline 1 & p1 & schiefwinklig \cline{1-2} 2 & p2 & ($ a \ne b; \gamma$ beliebig) \hline 1m1 & pm, pg, cm & rechtwinklig \cline{1-2} 2mm & pmm2, pmg2, pgg2, cmm2 & ($ a \ne b; \gamma = 90^o$) \hline 411 & p4 & quadratisch \cline{1-2} 4mm & p4mm, p4gm & ($ a = b; \gamma = 90^o$) \hline 311 & p3 & hexagonal \cline{1-2} 3m1 & p3m1, p31m & $ a = b; \gamma = 120^o$) \cline{1-2} 611 & p6 & \cline{1-2} 6mm & p6mm & \cline{1-2} \hline \underline{Zuordnung FG -- PG} alle g durch m ersetzen = Translation entfernen \underline{isomorphe} FG (geh"oren dann zur selben PG) Bezug PG des Kristalls (makroskopisch) zur RG (mikroskopisch) \underline{Benennung} nach H.M. wie bei PG also z.B. 4-z"ahlige Achse: quadratisches Koordinatensystem Benennungrichtungen: 1. immer aus der Ebene raus Rest wie bei HM-Benennung der Punktgruppen \underline{tabelliert} 1. Teil der IT: Auszug aus den {\it International Tables} f"ur Fl"achengruppe p4gm
  3. Beispiel: Fl"achengruppe p4g {\bf Eintrag in IT} (Vorl 2.2 Mitte) Square \hfill 4mm \hfill p 4 g m \hfill No. 12 \hfill $\Large\bf p 4 g$ \centerline{\psfig{figure=./Xfig_bilder/p4gm.ps,width=6.5cm,angle=-90} } } {\tiny \centerline{Origin at 4} \multicolumn{3}{c}{\tiny Number of positions,} & \multicolumn{1}{c}{Co-ordinates of equivalent positions} & Conditions limiting \multicolumn{3}{c}{\tiny Wyckoff notation,} & & possible reflections \multicolumn{3}{c}{\tiny and point symmetry} & & & & & & General: 8 & d & 1 & $x,y$; $y,\bar{x}$; $\frac{1}{2}-x,\frac{1}{2}+y$; $\frac{1}{2}-y,\frac{1}{2}-x$; & hk: No conditions & & & $\bar{x},\bar{y}$; $\bar{y},{x}$; $\frac{1}{2}+y,\frac{1}{2}-y$; $\frac{1}{2}+y,\frac{1}{2}-x$. & h0: h=2n (0k: k=2n) & & & & hh: No conditions & & & & Special: as above, plus 4 & c & m & $x,\frac{1}{2}+x$; $\bar{x},\frac{1}{2}-x$; $\frac{1}{2}+x,\bar{x}$; $\frac{1}{2}-x,x$; & no extra conditions 2 & b & mm & $\frac{1}{2},0$; $0,\frac{1}{2}$ & hk: h+k=2n 2 & a & 4 & $0,0$; $\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ & hk: h+k=2n \underline{Kopf:} Kristallsystem: Square isomorphe Punktgruppe: 4mm (= Kristallklasse) H-M. Langsymbol: p4gm (Richtungen wie bei H-M-Punktgruppen) 4-z"ahlige Achse $\perp$ Ebene g $\perp$ [01] und [10] m $\perp$ [11] laufende Nr. H.-M.-Kurzsymbol \underline{Bilder:} Punkt allgemeiner Lage Punkte, die durch Symmetrie erzeugt werden wenn einer auf beliebiges x,y,z gesetzt wird (hier 8 = max. Z"ahligkeit der Fl"achengruppe) , f"ur andere Chiralit"at Bild mit SE Achsen: wie bekannt durchgezogene Linien: m gestrichelte Linien: g \underline{Origin:} Lage des Ursprung der EZ \underline{Lagen:} allgemeine und spezielle Lagen: Wykoff-Benennung (Z"ahligkeit + Buchstaben (von unten)) PG der Lage Position und die dazu symmetrie"aquivalenten \underline{rechts}: Angaben f"ur reziproken Raum (Beugungsbilder) {\bf Strukturbeispiel dazu} periodisches Muster von \underline{Escher:} (Engel und Teufel) \psfig{figure=../methoden_ac/Scan_bilder/engel1.ps,width=7.0cm,angle=0.} EZ 4-z"ahlige Achsen bei 000 und $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ (Fl"ugelspitzen) 2-z"ahlige Achsen bei $\frac{1}{2}$ 0 (Punktgruppe 2mm) (Fu"sspitzen) Spiegelebenen (K"orperachsen) 2 Arten von Gleitspiegelebenen asymmetrische Einheit $\frac{1}{2}$ Engel + $\frac{1}{2}$ Teufel
Zusammenfassung vollst"andigen Charakterisierung einer 2-dim. period. Struktur: Metrik der Zelle/des Gitters (Gitterkonstanten) = Gitterinformation Fl"achengruppe Beschreibung der asymmetrischen Einheit (bei Strukturen: Atompositionen) Spielzeug: www.geom.umn.edu/apps/gallery.html Programme Kali und Kali-jot
jetzt: Identisches in 3D $\Downarrow$

Raumgruppen

wie bei FG auch im 3.dim:
  1. neue SE durch Kombination der Punkt-SO mit Translation
  2. 'Zusammenwirken' Raumgruppen (RG)
  3. Beispiel: Cmca Eintrag in IT echte Struktur in dieser RG: $I_2$
  1. zusammengesetzte SO wie schon bei F.G. auch hier: 2 Sorten von neuen SO: individuelle Translationen (jetzt aber mehrere) Gesamttranslationen (willk"urlich festgelegt, aber sinnvoll) \fbox{Individuelle Translationen} (Vorl. 2.3., SVG) zus"atzlich zu Punktsymmetrien (SVG!) folgende Kombinationen: \fbox{1} Translation t + Drehung n $\vec{t} \parallel$ zur Achse \underline{Schraubenachsen} $n_m$: $2_1, 3_1, 3_2, 4_1, 4_2, 4_3, 6_1, 6_2, 6_3, 6_4, 6_5$ \psfig{figure=./Xfig_bilder/schraubenachsen.ps,width=12cm,angle=-90} \fbox{2} Translation t + Spiegelung m, in $\frac{1}{2}$ der Translationsperiode $\vec{t} \parallel$ m \underline{Gleitspiegelebenen} je nach Richtung der Gleitung: a,b,c,n,d \psfig{figure=./Xfig_bilder/gleitspiegelebenen.ps,width=7cm,angle=-90} \fbox{Gesamttranslationen} (SVG) zus"atzliche Translationen des gesamten Gitters \underline{zentrierten Gitter} (nur zur Vereinfachung!) \end{tabbing} \vspace*{-.6mm} {\small \vspace*{-0.7cm} \hspace*{2cm} \setlength{\tabcolsep}{2pt} \begin{tabular}{| lll |} \hline Symbol & & zus"atzliche Symmetrieoperationen \hline \hline P & primitiv & - I & 2 fach primitiv & $\rm x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z+\frac{1}{2}$ C & 2 fach primitiv & $\rm x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z$ F & 4 fach primitiv & $\rm x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z; x+\frac{1}{2},y,z+\frac{1}{2}; x,y+\frac{1}{2},z+\frac{1}{2}$ R & 3 fach primitiv & spez. Zentrierung im trigonalen \hline \psfig{figure=./Xfig_bilder/zentrierungen.eps,width=9cm,angle=0} \ding{193} {\bf 'Zusammenwirken/Kombination' Raumgruppen (RG)} \psfig{figure=./Xfig_bilder/flaechen_raum_gruppen.eps,width=5cm,angle=0} 230 Raumgruppen unendliche Gruppen (trotzdem gelten Gruppenaxiome) charakteristischer Satz von SE an bestimmten Orten oder Menge von PG an bestimmten Orten {\bf Symbole} nach H.M.: gro"ser Buchstabe = Gesamttranslation (Bravaisgittertyp) bis zu 3 weitere Symbole, die SE entlang ausgezeichneter Richtungen sog. Blickrichtungen angeben d.h. Nomenklatur wie bei PG je nach Minimalsymmetrie geeignetes (symmetrieangepa"st) KS {\bf 7 Kristallsysteme} (wie bei PG) div. anhand der {\bf "Ubersicht "uber RG} (Vorlage 2.4) \hline \bf Kristall-& \bf Punkt-& \bf Gitter-&\multicolumn{4}{|c|}{\bf Bravaisgittertypen}&\multicolumn{3}{c|}{\bf Blickrichtung} & \bf Raumgruppen \cline{4-10} \bf system & \bf gruppe& \bf konstanten & \bf P & \bf C & \bf I & \bf F & 1. & 2. & 3. & \cline{4-7} & & & $\rm\scriptstyle x,y,z$ & $\rm\scriptstyle x,y,z$ & $\rm\scriptstyle x,y,z$ & $\rm\scriptstyle x,y,z$ & & & & & & & & $\rm\scriptstyle x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z$ & $\rm\scriptstyle x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z+\frac{1}{2}$ & $\rm\scriptstyle x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z$ &&&& & & & &&& $\rm\scriptstyle x+\frac{1}{2},y,z+\frac{1}{2}$ &&&& & & & &&& $\rm\scriptstyle x,y+\frac{1}{2},z+\frac{1}{2}$&&&& \hline \hline \bf triklin &\fbox{1} & $a\not=b\not=c$ &&&& & - & - & - & P1 & $\bar{1}$ & $\alpha\not=\beta\not=\gamma\not=90$ &\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/trikP.ps,width=1.4cm,angle=-90}&&& & & & & $P\bar{1}$ \hline \bf mono- &\fbox{2} & $a\not=b\not=c$ & \multirow{3}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/monoP.ps,width=1.3cm,angle=-90}}& \multirow{3}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/monoC.ps,width=1.3cm,angle=-90}}&& & $[010]$ & - & - & $P2, P2_1, C2$ \cline{2-2} \cline{11-11} \bf klin & m & $\alpha=\gamma=90^o$ &&&& & & & & $Pm, Pc, Cm, Cc$ \cline{2-2} \cline{11-11} & 2/m & $\beta\not=90^o$ &&&& & & & & $P2/m$, $P2_1/m$, C2/m, P2/c, $P2_1/c$, C2/c \hline \bf ortho- &\fbox{222} & $a\not=b\not=c$ & \multirow{9}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/orthoP.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & \multirow{9}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/orthoC.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & \multirow{9}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/orthoI.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & \multirow{9}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/orthoF.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & $[100]$ & $[010]$ & $[001]$ & $P222$, $P222_1$, $P2_12_12$, $P2_12_12_1,$ \cline{2-2} \cline{11-11} \bf rhom- & mm2 & $\alpha=\beta=\gamma=90$ &&&&& & & & $C222_1$, C222, F222, I222, $I2_12_12_1$, $Pmm2$, $Pmc2_1$, Pcc2, $Pma2_1$, $Pca2_1$, $Pnc2_1,$ $Pmn2_1$, $Pba2$, $Pna2_1$, Pnn2, Cmm2, $Cmc2_1,$ Ccc2, Amm2, Abma, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2 \cline{2-2} \cline{11-11} \bf bisch & mmm & &&&&&&&& Pmmm, Pnnm, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma, Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam ,Ibca, Imma \hline \bf tetra- & \fbox{4} & $a=b\not=c$ & \multirow{9}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/tetraP.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & & \multirow{9}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/tetraI.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & &$[001]$ &$[100]$ & $[110]$ & P4, $P4_1$, $P4_2$, $P4_3$, I4, $I4_1$ \cline{2-2} \cline{11-11} \bf gonal & $\bar{4}$ & $\alpha=\beta=\gamma=90$ &&&&& &$[010]$ & $[1\bar{1}0]$ & $\rm P\bar{4}, I\bar{4} $ \cline{2-2} \cline{11-11} & 4/m & &&&&&&& & P4/m, $P4_2/m$, P4/n, $P4_2/n$, I4/m, $I4_1/a $ \cline{2-2} \cline{11-11} & \fbox{422} & &&&&&&& & P422, $P42_12$, $P4_122$, $P4_12_12$, $P4_222$, $P4_22_12$, $P4_322$, $P4_32_12$, I422, $I4_122$ \cline{2-2} \cline{11-11} & 4mm & &&&&&&& & P4mm, P4bm, $P4_2cm$, $P4_2nm$, P4cc, P4nc, $P4_2mc$, $P4_2bc$, I4mm, I4cm, $I4_1md$, $I4_1cd$ \cline{2-2} \cline{11-11} & $\bar{4}m$ & &&&&&&& & $P\bar{4}2m$, $P\bar{4}2c$, $P\bar{4}2_1m$, $P\bar{4}2_1c$, $P\bar{4}m2$, $P\bar{4}c2$, $P\bar{4}b2$, $P\bar{4}n2$, $I\bar{4}m2$, $I\bar{4}c2$, $I\bar{4}2m$, $I\bar{4}2d $ \cline{2-2} \cline{11-11} & \multicolumn{2}{l|}{4/mmm} &&&&&&&& P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, $P4_2/mmc$, $P4_2/mcm$, $P4_2/nbc$, $P4_2/nnm$, $P4_2/mbc$, $P4_2/mnm$, $P4_2/nmc$, $P4_2/ncm$, I4/mmm, I4/mcm, $I4_1/amd$, $I4_1/acd$ \hline \bf tri- & \fbox{3} & $a=b=c$ & \bf R & && & $[111]$ & $[1\bar{1}0]$ & - &$P3, P3_1, P3_2, R3$ \cline{2-2} \cline{11-11} \bf gonal & $\bar{3}$ & $\rm\alpha=\beta=\gamma\not=90$ & \multirow{4}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/trigR.ps,width=0.7cm,angle=-90}} &&&& & $[01\bar{1}]$ & &$ P\bar{3}, R\bar{3} $ \cline{2-2} \cline{11-11} & \fbox{32} & & &&&& &$[\bar{1}01]$& & P312, P321, $P3_112$, $P3_121$, $P3_212$, $P3_221$, R32 \cline{2-2} \cline{11-11} & 3m & &&&& & && & P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c \cline{2-2} \cline{11-11} & $\bar{3}m$ &&&&& && & & $P\bar{3}1m$, $P\bar{3}1c$, $P\bar{3}m1$, $P\bar{3}c1$, $R\bar{3}m$, $R\bar{3}c$ \cline{2-11} \bf hexa- & \fbox{6} & $\rm a=b\not=c$ & & \multirow{7}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/hexP.ps,width=1.5cm,angle=-90}} && & $[001]$ &$[100]$ & $ [1\bar{1}0]$ & P6, $P6_1$, $P6_5$, $P6_3$, $P6_2$, $P6_4$ \cline{2-2} \cline{11-11} \bf gonal & $\bar{6}$ & $\rm\alpha=\beta=90$ &&&&&& $[010]$ & $[120]$ & $P\bar{6}$ \cline{2-2} \cline{11-11} & 6/m & $\gamma=120$ &&&&&& $[\bar{1}\bar{1}0]$ & $[\bar{2}\bar{1}0]$ & $P6/m, P6_3/m$ \cline{2-2} \cline{11-11} & \fbox{622} & &&&&&&& & P622, $P6_122$, $P6_522$, $P6_222$, $P6_422$, $P6_322$ \cline{2-2} \cline{11-11} & 6mm &&&&&&&& & P6mm, P6cc, $P6_3cm$, $P6_3mc$ \cline{2-2} \cline{11-11} & $\bar{6}m$ &&&&&&&& & $P\bar{6}m2$, $P\bar{6}c2$, $P\bar{6}2m$, $P\bar{6}2c $ \cline{2-2} \cline{11-11} & \multicolumn{2}{l|}{6/mmm} & & && &&&& P6/mmm, P6/mcc, $P6_3/mcm$, $P6_3/mmc$ \hline \bf kubisch & \fbox{23} & $\rm a=b=c$ & \multirow{8}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/cubP.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & & \multirow{8}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/cubI.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & \multirow{8}{1.6cm}{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/cubF.ps,width=1.5cm,angle=-90}} & $[100]$ &$[111]$ & $[110]$ & P23, F23, I23, $P2_13$, $I2_13$ \cline{2-2} \cline{11-11} & $m\bar{3}$ & $\rm\alpha=\beta=\gamma=90$ &&&&& $[010]$ &$[1\bar{1}\bar{1}]$ &$[01\bar{1}]$ & $Pm\bar{3}$, $Pn\bar{3}$, $Fm\bar{3}$, $Fd\bar{3}$, $Im\bar{3}$, $Pa\bar{3}$, $Ia\bar{3}$ \cline{2-2} \cline{11-11} & \fbox{432} & &&&&& $[001]$ &$[\bar{1}1\bar{1}]$ &$[\bar{1}01]$ & P432, $P4_232$, F432, $F4_132$, I432, $P4_332$, $P4_132$, $I4_132$ \cline{2-2} \cline{11-11} & $\bar{4}3m$ & &&&&&& $[\bar{1}\bar{1}1]$ &$[1\bar{1}0]$ & $P\bar{4}3m$, $F\bar{4}3m$, $I\bar{4}3m$, $P\bar{4}3n$, $F\bar{4}3c$, $I\bar{4}3d$ \cline{2-2} \cline{11-11} & $m\bar{3}m$ & &&&&&&& $[011]$ & $Pm\bar{3}m$, $Pn\bar{3}n$, $Pm\bar{3}n$, $Pn\bar{3}m, $ \cline{2-2} \cline{11-11} & & &&&& &&& $[101]$ & $Fm\bar{3}m$, $Fm\bar{3}c$, $Fd\bar{3}m$, $Fd\bar{3}c$, $Im\bar{3}m$, $Ia\bar{3}d$ \hline {\bf "Ubersicht "uber alle RG: Erl"auterungen} Symbole (Liste letzte Spalte) 7 KS = 1. Spalte (symmetrieangepa"ste KS) \hline Kristallsystem & Minimal- & \multicolumn{2}{c}{Elementarzelle} & Bravaisgitter- & symmetrie & Achsen & Winkel & typen $\rm \sum=14$ \hline \hline triklin & keine, i & $\rm a\not=b\not=c$ &$\rm\alpha\not=\beta\not=\gamma\not=90^o$ & P monoklin & 2 oder m & $\rm a\not=b\not=c$ & $\rm\alpha=\gamma=90, \beta\not=90^o$ & P orthorhombisch & mmm,222 & $\rm a\not=b\not=c$ & $\rm\alpha=\beta=\gamma=90$ & P, I, C, F tetragonal & 4 & $\rm a=b\not=c$ & $\rm\alpha=\beta=\gamma=90$ & P, I trigonal & 3 & $\rm a=b\not=c$ & $\rm\alpha=\beta=90, \gamma=120$ & P, R hexagonal & 6 & $\rm a=b\not=c$ & $\rm\alpha=\beta=90, \gamma=120$ & P kubisch & 4x3 & $\rm a=b=c$ & $\rm\alpha=\beta=\gamma=90$ & P, I, F \hline isomorphe PG Restriktionen f"ur die Gitterkonstanten erlaubte Zentrierungen f"ur jede Kristallsystem Fehlstellen: nicht sinnvoll z.B.: tetragonal C ?? Blickrichtungen f"ur die H.M. Benennung (s. PG) RG tabelliert in den {\it 'International Tabels'} (analog FG)
  2. Beispiel: Cmca {'Muster': Struktur von elementarem $\bf I_2$} {\bf Eintrag in den IT} f"ur Cmca (Vorl. 2.5.) \hfill {\Large Cmca} Orthorhombic \hfill mmm \hfill C 2/m 2/c $2_1/a$ \hfill No. 64 \hfill $\large D^{18}_{2h}$ \centerline{\psfig{figure=./Xfig_bilder/Raumgruppen/cmca.ps,width=11.5cm,angle=-90} } \smallskip {\footnotesize \centerline{Origin at centre (2/m)} \smallskip { \renewcommand{\arraystretch}{1.15} \tabcolsep8pt \begin{tabular}{rrrll} \multicolumn{3}{c}{\footnotesize Number of positions,} & \multicolumn{1}{c}{Co-ordinates of equivalent positions} & Conditions limiting \multicolumn{3}{c}{\footnotesize Wyckoff notation,} & & possible reflections \multicolumn{3}{c}{\footnotesize and point symmetry} & & & & & \multicolumn{1}{c}{(0,0,0; $\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$)+} & 16 & g & 1 & $x,y,z$; $x,\bar{y},\bar{z}$; $x,\frac{1}{2}-y,\frac{1}{2}+z$; $x,\frac{1}{2}+y,\frac{1}{2}-z$; & hkl: h+k=2n & & & $\bar{x},\bar{y},\bar{z}$; $\bar{x},{y},{z}$; $\bar{x},\frac{1}{2}+y,\frac{1}{2}-z$; $\bar{x},\frac{1}{2}-y,\frac{1}{2}+z$. & 0kl: (k=2n) & & & & h0l: l=2n; (h=2n) & & & & hk0: h=2n; (k=2n) & & & & h00: (h=2n) & & & & 0k0: (k=2n) & & & & 00l: (l=2n) & & & & Special: as above, plus 8 & f & m & $0,y,z$; $0,\bar{y},\bar{z}$; $\frac{1}{2},y,\frac{1}{2}-z$; $\frac{1}{2},\bar{y},\frac{1}{2}+z$. & no extra conditions 8 & e & 2 & $\frac{1}{4},{y},\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4},\bar{y},\frac{3}{4}$; $\frac{3}{4},{y},\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4},\bar{y},\frac{3}{4}$. & hkl: h=2n; (k=2n) 8 & d & 2 & $x,0,0$; $\bar{x},0,0$, $x,\frac{1}{2},\frac{1}{2}$; $\bar{x},\frac{1}{2},\frac{1}{2}$. & hkl: k+l=2n; (l+h=2n) 8 & c & $\bar{1}$ & $\frac{1}{4},\frac{1}{4},0 $; $\frac{1}{4},\frac{3}{4},0 $; $\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2} $; $\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2} $;. & hkl: h,l=2n; (k=2n) 4 & b & 2/m & $\frac{1}{2},0,0$; $\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ & 4 & a & 2/m & $0,0,0$; $0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}$. \end{tabular} } \centerline{Symmetry of special projections} (001) pmm; a'=a/2, b'=b/2 \hfill (100) pgm; b'=b/2, c'=c \hfill (010) pmm; c'=c/2, a'=a/2 } {\bf Muster: Struktur von $\bf I_2$} allgem: komplette Beschreibung einer Struktur Gitterinformationen (Translationsinformation) Gitterkonstanten (a,b,c,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$) Motivinformation (in der EZ durch RG vereinfacht) {\bf Bsp:} $I_2$: isolierte $I_2$-Molek"ule (Molek"ulkristall) (im Unterschied z.B. zu Ionenkristall oder Metall) \underline{Literatur/Datenbank:} Angaben: Z=4, Raumgruppe Cmca, a=7.255 $\AA$, b=4.795 $\AA$, c=9.78 $\AA$ I auf 8(f): 0 0.150 0.117 (Atomkoordinaten = Lageparameter = x,y,z = zwischen 0 und 1) hier: spezielle Lage (Eigensymmetrie, Punktsymmetrie m) damit: vollst"andige Darstellung und Beschreibung der Struktur SE ausf"uhrlich, Erkl"arung des RG-Symbols (Vorl. 2.5., SVG) \centerline{\psfig{figure=./Crystal_bilder/i2_pluton_bw.eps,width=12.3cm,angle=0} }

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Inhalt Einleitung I. Spektroskopie II. Beugung III. Bildgebung IV. Sonstige Methoden
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cr_home Metalle Nichtmetalle FK-Chemie Strukturchemie Interm. Phasen Oxide Silicate Strukturtypen AFP