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Vorlesung Festkörperchemie

1. Bau von Festkörpern: Atomare und elektronische Strukturen

1.1.5. Kristallographie und Eigenschaften


Zum Abschlu"s des esten Abschnitts zur Struktur von Idealkristallen und deren Strukturchemie soll die Bedeutung von Symmetrie f"ur die Eigenschaften, geanuer die Eigenschaften, die auf statischen Response, (nicht auf Transportph"anomen basieren (bei Eigenschaften nochmal) behandelt werden. Zum vollst"andigen Verst"andnis dieses Abschnitts ist m"oglicherweise ein Blick in die Kapitel zur Symmetrie aus der Vorlesung Methoden der Anorganischen Chemie n"utzlich bzw. erforderlich. Idealkristalle und derer Kristallstrukturen basieren auf der Anwesenheit vollst"andiger Translationssymmetrie. Zu ihrer vollst"andigen Beschreibung sind die Elementarzelle mit den Abmessungen der Gitterparameter und die Lageparameter der Atom, sowie als Symmetrieinformation die Raumgruppe ausreichend. $\bullet$ {\bf Punktgruppe} (vgl. Molek"ule!) PG = Kombintation von Basis-SO v. Objekten (Kristalle, Molek"ule) mit konst. Punkt wenige SO: 1, 2, 3, 4, 6, i, m, $\bar{4}$ (wegen Translation) n-z"ahlige & \multicolumn{5}{|c|}{n} & \hline \hline Drehachse& 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & Drehung um $\frac{360}{n}$ & & & & & & l"a"st Objekt unver"andert & & & & & & Chiralit"at bleibt erhalten & & && && Drehinversions- & $\rm \bar{1}=i$ & $\rm \bar{2}=\frac{1}{m}$ & $\rm \bar{3}=3+i$ & $\rm \bar{4}$ & $\rm \bar{6} = \frac{3}{m}$ & Drehung um $\rm \frac{360}{n}+i$ achse & & & & & & l"a"st Objekt unver"andert & & & & & & Chiralit"at "andert sich \hline \end{tabular} Symmetrie mit konstantem Punkt beschreibbar/benennbar: $\diamond$ bei Molek"ulen: Punktgruppen vollkommen $\diamond$ bei Kristallen: 32 Kristallklasse "aquivalent Problem: unterschiedliche Nomenklatur (Sch"onflies, H.M.) $\bullet$ {\bf Bedeutung von PG} (f"ur Idealkristalle) makroskopische Kristall-Symmetrie (Goniometrie) Symmetrie jedes Platzes im Kristall Tabelle der 32 kristallographischen PG (Kristallklassen)} \fbox{\scriptsize VL 1.7} Nr.&T& \multicolumn{2}{|c|}{Herman-Mauguin} & Sch"on- & Koordinaten- & Nr. &T& \multicolumn{2}{|c|}{Herman-Mauguin} & Sch"on- & Koordinaten- \cline{3-4} \cline{9-10} &Y& Kurz- & Lang- & flies- & system & &Y& Kurz- & Lang- & flies- & system \cline{3-5} \cline{9-11} &P& \multicolumn{3}{|c|}{symbol} & & &P& \multicolumn{3}{|c|}{symbol} & \hline \hline 1 &C&1 & 1 &$C_1$ & triklin &16&C& 3 & 3 & $C_3$ & trigonal 2 &A&$\bar{1}$ & $\bar{1}$ &$C_i$ & (a$\ne$b$\ne$c; $\alpha$$\ne$$\beta$$\ne$$\gamma$)&17&A& $\bar{3}$ & $\bar{3}$& $S_6$ & (hexagonale A.) & & & & & &18&D& 3m1 & 3m1 & $C_{3v}$ & (a=b$\ne$c \cline{1-6} 3 &D& m & 1m1 &$C_s$ & monoklin &19&B& 321 & 321 & $ D_3$ & $\alpha$=$\beta$=90$^o$, 4 &C& 2 & 121 &$C_2$ & (a$\ne$b$\ne$c, &20&A& $\bar{3}m1$ &$\bar{3}\frac{2}{m}1$ & $ D_{3d}$& $\gamma$=120$^o$) 5 &A&$\frac{2}{m}$& $1\frac{2}{m}1$ &$C_{2h}$& $\alpha$=$\gamma$=90$^o$; $\beta$$\ne$90$^o$) & & & & & & \cline{7-12} & & & & & &21&C& 6 & 6 & $C_6$ & hexagonal \cline{1-6} 6 &D&mm2 & mm2 &$C_{2v}$& orthorhombisch &22&E& $\bar{6}$& $\bar{6}$& $C_{3h}$ & ($ a = b \ne c$ 7 &B&222 & 222 &$D_2$ & ($ a \ne b \ne c$, &23&A& $ \frac{6}{m}$&$\frac{6}{m}$ &$C_{6h}$& $\alpha$=$\beta$=90$^o$; 8 &A&mmm & $\frac{2}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}$ &$D_{2h}$& $\alpha$=$\beta$=$\gamma$=90$^o$) & 24 &E& $\bar{6}$m2 & $\bar{6}$m2 & $ D_{3h}$ & $\gamma$=120$^o$) & & & & & & 25 &D & 6mm & 6mm & $ C_{6v}$ & \cline{1-6} 9 &C&4 & 4 &$C_4$ & tetragonal & 26&B & 622 & 622 & $ D_6$ & 10&E&$\bar{4}$ & $\bar{4}$ &$S_4$ & (a=b$\ne$c, & 27 &A & $ \frac{6}{m}$mm & $ \frac{6}{m} \frac{2}{m} \frac{2}{m}$ & $ D_{6h}$ & 11&A&$ \frac{4}{m}$&$ \frac{4}{m}$ &$C_{4h}$& $\alpha$=$\beta$=$\gamma$=90$^o$) &&&&&& \cline{7-12} 12&D&4mm & 4mm &$C_{4v}$& & 28 &B& 23 & 23 & T & kubisch 13&E&$\bar{4}$2m & $\bar{4}$2m &$D_{2d}$& & 29 &A& m$\bar{3}$ & $\frac{2}{m} \bar{3}$ & $ T_h$ & (a=b=c, 14&B&422 & 422 &$D_4$ & & 30 &E& $\bar{4}3m$ & $\bar{4}3m$ & $ T_d$ & $\alpha$=$\beta$=$\gamma$=90$^o$) 15&A&$ \frac{4}{m}$mm&$\frac{4}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}$&$D_{4h}$& & 31 &B& 432 & 432 & O & & & & & & & 32 &A& m$\bar{3}$m & $\frac{4}{m} \bar{3} \frac{2}{m}$ & $ O_h$ & %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \subsubsection{Punktgruppen: Symmetrie -- Eigenschaften} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $\bullet$ {\bf Bezug Punktgruppe -- Raumgrupppe (Idealstruktur)} ../methoden_ac/Xfig_bilder/flaechen_raum_gruppen.eps Gesamtstruktur (mathematisch) die Kombination von Punktgruppen an allen Orten im Kristall Beschreibung (praktisch) $\diamond$ Gitterkonstanten: Abmessungen der EZ (Metrik der EZ) $\diamond$ Raumgruppe: Symmetrie in der EZ $\diamond$ Atompositionen: Positionen aller Atome in der EZ (Unterschiedung allgemeine/spezielle Positionen) jede Atomposition hat bestimmte Eigensymmetrie (PG) eliminieren aller Translationssymmetrien, d.h. Ersatz $\diamond$ Gleitspiegelebenen $\mapsto$ Spiegelebenen $\diamond$ Schraubenachsen $\mapsto$ normale Drehachsen $\mapsto$ RG $\mapsto$ isomorphe PG isomorphe PG der RG bestimmt ... $\diamond$ "au"sere Form des Kristalls (wenn frei gewachsen) $\diamond$ physikalische Eigenschaften des Gesamtkristalls $\mapsto$ PG f"ur physikalische Eigenschaften wichtiger als RG (nach au"sen resultierende Gesamtsymmetrie der Struktur) Die Einteilung der Punktgruppen kann nach den m"oglichen Eigenschaften nach folgendem Schema (Abb. XX) eingeteilt werden.
Abb. 1.1.5.X. Einteilung der Punktgruppen SVG

Von den insgesamt 32 Punktgruppen sind:
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